Теорема на Бейс или вероятността от причини

Теоремата на Бейс е един от стълбовете на вероятностното смятане . Това е теория, представена от Томас Байс (1702-1761) през 18 век. Но каква е целта на изследванията на този известен учен? Вероятността изразява в случаен процес съотношението между броя на благоприятните случаи и броя на възможните случаи.

Разработени са много теории за вероятностите, които управляват нашето съществуване днес. Когато отидем на лекар, той предписва лекарството, което е най-вероятно да се окаже полезно в нашия случай, точно както рекламодателите посвещават своите кампании на хората, които е най-вероятно да закупят продукта, който искат да популяризират, или туристите и пътниците, които избират маршрута, където е вероятно да има най-малко опашка.

Законът за пълната вероятност е сред най-известните, затова преди да говорим за Теорема на Бейс ще трябва да посветим няколко реда, за да обясним първото. За да се опитате да го разберете, просто дайте пример .

Каква е вероятността (P) човек, избран на случаен принцип от работещото население в тази страна безработен ?

Според теорията на вероятностите данните ще бъдат изразени, както следва:

• Вероятността лицето да е жена: P (M)
• Вероятността лицето да е мъж: P (H)

Знаейки, че 39% от населението е съставено от жени, ние заключаваме, че: P (M) = 039.

Следователно е ясно, че: P (H) = 1 – 039 = 061. Проблемът, поставен в началото, също ни дава условните вероятности:

• Вероятност човек да е безработен, знаейки, че е жена -> P (P | M) = 022
• Вероятност човек да е безработен, знаейки, че е мъж – P (P | H) = 014

С помощта на закон за пълната вероятност ще имаме:

P (P) = P (M) P (P | M) P (H) P (P | H)

P (P) = 022 × 039 014 × 061

P (P) = 017

The . Забелязваме, че резултатът е по средата между двете условни вероятности (022<017 <014). Inoltre è più prossimo al valore degli uomini perché nella popolazione di questo paese immaginario sono la maggioranza.

Нека открием теоремата на Бейс

Сега да предположим, че възрастен е избран на случаен принцип да попълни формуляр и се наблюдава, че няма работа. В този случай и като вземем предвид предишния пример, каква е вероятността това произволно избрано лице да е жена -P (M | P) -?

За да разрешим този проблем, ще приложим теоремата на Бейс който се използва за изчисляване на вероятността от събитие, като има информация за него предварително . Можем да изчислим вероятностите за събитие A, знаейки, че то отговаря на определени характеристики (B).

В случая говорим за вероятността произволно избраното да попълни формуляр лице да е жена. Но то

Формулата на теоремата на Байс

Както всяка друга теорема, имаме нужда от формула.

Изглежда сложно, но всичко си има обяснение. Да мислим на части. Какво означава всяка буква?

Б е събитиетоза които имаме предварителна информация.
• L буквата A (n) се отнася до различните обусловени събития.
• В числителната част имаме условна вероятност . Това се отнася до вероятността нещо (събитие A) да се случи, като се знае, че друго събитие (B) също ще се случи. Дефинира се като P (A | B) и се изразява като: Вероятността за A при дадено B .
• В знаменателя имаме еквивалента на P (B) и следва същото обяснение като предходната точка.

Един пример

Връщайки се към предишния пример да предположим, че възрастен е избран на случаен принцип да попълни въпросник и се наблюдава, че той е безработен . Какви са шансовете този избран човек да е жена?

Знаем, че 39% от активното население се състои от жени, докато останалите са мъже . Знаем също, че процентът на безработните жени е 22%, а този на мъжете е 14%.

Накрая също така знаем, че вероятността произволно избрано лице да е безработно е 017. Ако приложим формулата на теоремата на Байс, резултатът, който ще получим е, че има вероятност 05 произволно избрано лице сред безработните

P (M | P) = (P (M) * P (P | M) / P (P)) = (022 * 039) / 017 = 05

Теоремата на Байс произлиза от съвкупността на съставната и абсолютната вероятностни теореми, които обяснихме в началото. Основната му характеристика е, че работи във всички интерпретации на вероятността.

Тъй като може да се използва за изчисляване на вероятността от причина, която е предизвикала събитието важността му се крие в начина, по който исторически е повлиял върху изучаването на статистиката . Днес всъщност са известни две основни школи (едната фреквентистка, а другата байесианска), които се противопоставят една на друга, като се започне от тълкуването, дадено на тази теория.

Завършваме с любопитство: знаете ли, че електронният спам (този на Интернет имейл реклами) работи ли благодарение на теоремата на Байс?